Question

已知抛物线，直线，是抛物线的焦点。

（1）在抛物线上求一点，使点到直线的距离最小；

(2)如图，过点作直线交抛物线于A、B两点.

①若直线AB的倾斜角为，求弦AB的长度；

②若直线AO、BO分别交直线于两点,求的最小值.

 

Answer 1

（1）；(2)①；②的最小值是.

【解析】

试题分析：（1）数形结合，找出与与平行的切线的切点即为P.(2)易得直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式，可求AB；②设,可得AO，BO方程，与抛物线联立

试题解析：

解:(1)设，，

由题可知：

所求的点为：（或者用距离公式或同样给分） 3分

(2)①易知直线AB：，

联立：，消去y得， 5分

设，则

(用定义同样给分) 8分

②设,所以

所以的方程是:,由,

同理由 9分

所以

① 10分

设,由,

且,

代入①得到:

, 12分

设,

,

所以此时的最小值是,此时,; 13分

综上:的最小值是。 14分

考点：抛物线的几何性质，弦长公式，数形结合的数学思想.