Question

已知椭圆：.

(1)椭圆的短轴端点分别为(如图)，直线分别与椭圆交于两点，其中点满足，且.
①证明直线与轴交点的位置与无关；
②若∆面积是∆面积的5倍，求的值；
(2)若圆:.是过点的两条互相垂直的直线,其中交圆于、两点,交椭圆于另一点.求面积取最大值时直线的方程.

Answer 1

(1)①交点为；②；(2) .

试题分析：(1)①本题方法很容易想到，主要考查计算推理能力，写出直线的方程，然后把直线方程与椭圆方程联立，求得点坐标，同理求得点坐标，从而得到直线的方程，令，求出，与无关；②两个三角形∆与∆有一对对顶角和，故面积用公式，表示，那么面积比就为，即，这个比例式可以转化为点的横坐标之间(或纵坐标)的关系式，从而求出；(2)仍采取基本方法，设的方程为，则的方程为，直线与圆相交于，弦的长可用直角三角形法求，(弦心距，半径，半个弦长构成一个直角三角形)，的高为是直线与椭圆相交的弦长，用公式来求，再借助于基本不等式求出最大值及相应的值，也即得出的方程.
试题解析：（1）①因为,M (m,)，且，
直线AM的斜率为k₁=,直线BM斜率为k₂=,
直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y=,
由得，

由得，
；
据已知，，
直线EF的斜率
直线EF的方程为 ,
令x=0,得 EF与y轴交点的位置与m无关.
②,,,
,，,
 ，
整理方程得，即，
又有，，，为所求.
(2) 因为直线,且都过点,所以设直线,
直线,
所以圆心到直线的距离为,
所以直线被圆所截的弦；
由,所以
 所以
所以
当时等号成立,
此时直线