Question

定义数列，（例如时，）满足，且当（）时，.令．
（1）写出数列的所有可能的情况；（5分）
（2）设，求（用的代数式来表示）；（5分）
（3）求的最大值.（6分）

Answer 1

（1）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：
（1）；     （2）；
（3）；    （4）；
（5）；      （6）；
2个起评，对2个1分，3个2分，4个3分，5个4分，6个5分
（2）
．
（3）的最大值为．

解析试题分析：（1）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：
（1）；     （2）；
（3）；    （4）；
（5）；      （6）；
2个起评，对2个1分，3个2分，4个3分，5个4分，6个5分
（2），由，
则或（，），            6分
，
，
…
，
所以．                       7分
因为，所以，且为奇数，        8分
是由个1和个构成的数列．            9分
所以
．                 10分
（3）
则当的前项取，后项取时最大，  12分
此时14分
证明如下：
假设的前项中恰有项取，则
的后项中恰有项取，其中，，，．
所以     ．             

 
．    16分
所以的最大值为．                
考点：本题主要考查数列的概念、通项公式，叠加法，应用不等式求最值。
点评：综合题，新定义数列问题，利用“叠加法”求得，对考查考生灵活运用数学知识的能力起到了很好的作用。本题较难。