题目内容

设数列{an}满足：a1=
56
，且an-1=3an-1（n∈N*，n≥2）．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
分析：（1）由an-1=3an-1可得an=
1
3
an-1+
1
3
，可得an-
1
2
=
1
3
(an-1-
1
2
)，由等比数列的通项公式可求an-
1
2
，进而可求an
（2）由Sn=a1+a2+…+an=
n
2
+
1
3
+(
1
3
)2+…+(
1
3
)n，利用分组求和及等比数列的求和公式可求
解答：解：（1）由an-1=3an-1可得an=
1
3
an-1+
1
3
，
∴an-
1
2
=
1
3
(an-1-
1
2
)，a1-
1
2
 =
1
3

∴数列{an-
1
2
}是一个以a1-
1
2
=
5
6
-
1
2
=
1
3
为首项，以
1
3
为公比的等比数列，
∴an-
1
2
=(
1
3
)n
∴an=
1
2
+(
1
3
)n
（2）∵Sn=a1+a2+…+an=
n
2
+
1
3
+(
1
3
)2+…+(
1
3
)n
=
n
2
+
1
3
(1-(
1
3
)n)
1-
1
3
=
n
2
+
1
2
(1-(
1
3
)n)
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，求解等比数列的通项公式，分组求和方法的应用，等比数列的求和公式的应用．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
（1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设0＜c＜
1
3
，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）设0＜c＜
1
3
，证明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．
已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）设数列an满足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通项公式．
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）
设数列{an}满足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求证：数列{an-
1
2
}为等比数列，并求数列{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
设n∈N*，不等式组
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）设数列{an}满足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求证：n≥2时，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的条件下，比较(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)与4的大小．

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