Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为

6

4

，△ABC中，|AB|=|AC|=

7

2

，|BC|=2，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根据题意可得：△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，又因为BC∥AD，所以AE⊥AD．又PA⊥AE，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，进而可得答案；
（Ⅱ）先根据条件建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，结合直线PB与平面PAD所成角的正弦值，求出AP的长，进而求出两个半平面的法向量，代入向量的夹角计算公式即可求出结论．

解答：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．
又因为BC∥AD，所以AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．
又PD?平面PAD，所以AE⊥PD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设AB=2，AP=a，则A（0，0，0），B（

3

，-1，0），C（

3

，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（

3

，0，0），F（

3

2

，

1

2

，

a

2

）所以

FB

=（

3

，-1，-a），且

AE

=（

3

，0，0）为平面PAD的法向量，
设直线PB与平面PAD所成的角为θ，
由sinθ=|cos＜

PB

，

AE

＞|=

3

4+a2 × 3

=

6

4

，解得a=2．
所以

AF

=（

3

2

，

1

2

，1）．
设平面AEF的一法向量为

m

=（x₁，y₁，z₁），则

m • AE =0 m • AF =0

，因此

3 x1=0 3 2 x1+ 1 2 y1+z1=0

取z₁=-1，则

m

=（0，2，-1）．
因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面AFC，故

BD

为平面AFC的一法向量．
又

BD

=（-

3

，3，0），所以cos＜

m

，

BD

＞=

m • BD

| m || BD |

=

15

5

．
因为二面角E-AF-C为锐角，故所求二面角的余弦值为

15

5

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便利用已知条件得到空间的线面关系，并且便于建立坐标系利用向量的有关运算解决空间角等问题．