题目内容
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形,∠BCD=60°,PD⊥AD.点E是BC边上的中点.
(1)求证:AD⊥面PDE;
(2)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
;①求VP-ABED; ②求二面角P-AB-C大小.
(1)求证:AD⊥面PDE;
(2)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
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分析:(1)先证明DE⊥AD,根据PD⊥AD,从而可证AD⊥面PDE
(2)①由(1)可知∠PDE为二面角P-AD-C的平面角,过P作PF⊥DE交于F,则PF⊥面ABCD,从而可求PF=PDsin60°=4,又易求SABED=6
,从而可求VP-ABED.
②连接BF.可得∠PBF为二面角P-AB-C平面角.在△BEF中,可求BF=2EF=
,从而可求二面角P-AB-C的平面角.
(2)①由(1)可知∠PDE为二面角P-AD-C的平面角,过P作PF⊥DE交于F,则PF⊥面ABCD,从而可求PF=PDsin60°=4,又易求SABED=6
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②连接BF.可得∠PBF为二面角P-AB-C平面角.在△BEF中,可求BF=2EF=
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解答:(1)证明:∵E为BC边中点∴CE=
BC=
CD
又∵∠BCD=60°∴DE⊥BC∴DE⊥AD
∵PD⊥AD∴AD⊥面PDE
(2)解:∵AD⊥面PDE∴AD⊥PD,AD⊥DE
∴∠PDE为二面角P-AD-C的平面角∴∠PDE=60°
过P作PF⊥DE交于F,则PF⊥面ABCD
∴PF=PDsin60°=4,DF=PDcos60°=
在底面ABCD中:DE=4sin60°=2
∴SABED=6
∴①VP-ABED=
SABED•PF=
×6
×4=8
②连接BF.∵EF=
,BE=2
∴tan∠EBF=
∴∠EBF=30°
∴∠FBA=120°-30°=90°∴FB⊥AB
∵PF⊥面ABCD∴PB⊥AB
∴∠PBF为二面角P-AB-C平面角.
在△BEF中:BF=2EF=
∴tan∠PBF=
,∴∠PBF=60°
∴二面角P-AB-C为60°
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又∵∠BCD=60°∴DE⊥BC∴DE⊥AD
∵PD⊥AD∴AD⊥面PDE
(2)解:∵AD⊥面PDE∴AD⊥PD,AD⊥DE
∴∠PDE为二面角P-AD-C的平面角∴∠PDE=60°
过P作PF⊥DE交于F,则PF⊥面ABCD
∴PF=PDsin60°=4,DF=PDcos60°=
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在底面ABCD中:DE=4sin60°=2
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∴SABED=6
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∴①VP-ABED=
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②连接BF.∵EF=
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∴tan∠EBF=
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∴∠FBA=120°-30°=90°∴FB⊥AB
∵PF⊥面ABCD∴PB⊥AB
∴∠PBF为二面角P-AB-C平面角.
在△BEF中:BF=2EF=
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∴tan∠PBF=
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∴二面角P-AB-C为60°
点评:本题以四棱锥为载体,考查线面垂直,考查四棱锥的体积,考查面面角,综合性强.
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