题目内容
(2012•崇明县二模)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是BC,PC的中点,AB=2,AP=2.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角E-AF-C的大小.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角E-AF-C的大小.
分析:(1)利用线面垂直的判定证明BD⊥平面PAC,证明AC⊥BD、PA⊥BD即可;
(2)以A为原点,建立直角坐标系,求出平面FAE法向量
=(1,-2,1),
=(2,-2,0),利用向量的夹角公式,即可求二面角E-AF-C的大小.
(2)以A为原点,建立直角坐标系,求出平面FAE法向量
n |
BD |
解答:(1)证明:∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BD
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD
∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC;
(2)解:以A为原点,如图所示建立直角坐标系,则A(0,0,0),E(2,1,0),F(1,1,1)
∴
=(2,1,0),
=(1,1,1)
设平面FAE法向量为
=(x,y,z),则
,∴可取
=(1,-2,1)
∵
=(2,-2,0),
∴cosθ=|
|=|
|=
所以θ=
,即二面角E-AF-C的大小为
.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD
∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC;
(2)解:以A为原点,如图所示建立直角坐标系,则A(0,0,0),E(2,1,0),F(1,1,1)
∴
AE |
AF |
设平面FAE法向量为
n |
|
n |
∵
BD |
∴cosθ=|
| ||||
|
|
2+4 | ||||
2
|
| ||
2 |
所以θ=
π |
6 |
π |
6 |
点评:本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,二面角的求法,其中建立空间直角坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键.
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