题目内容

(2012•崇明县二模)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是BC,PC的中点,AB=2,AP=2.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角E-AF-C的大小.
分析:(1)利用线面垂直的判定证明BD⊥平面PAC,证明AC⊥BD、PA⊥BD即可;
(2)以A为原点,建立直角坐标系,求出平面FAE法向量
n
=(1,-2,1)
BD
=(2,-2,0)
,利用向量的夹角公式,即可求二面角E-AF-C的大小.
解答:(1)证明:∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BD
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD
∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC;
(2)解:以A为原点,如图所示建立直角坐标系,则A(0,0,0),E(2,1,0),F(1,1,1)
AE
=(2,1,0),
AF
=(1,1,1)

设平面FAE法向量为
n
=(x,y,z),则
2x+y=0
x+y+z=0
,∴可取
n
=(1,-2,1)

BD
=(2,-2,0)

∴cosθ=|
n
BD
|
n
||
BD
|
|=|
2+4
2
2
×
6
|=
3
2

所以θ=
π
6
,即二面角E-AF-C的大小为
π
6
点评:本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,二面角的求法,其中建立空间直角坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网