Question

8．如图，已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=BB₁=2．
（1）求证：平面A₁B₁BA⊥平面C₁B₁BC；
（2）求二面角C₁-AB₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由B₁B⊥平面ABC，得B₁B⊥AB，再由AB⊥BC，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面C₁B₁BC，则平面A₁B₁BA⊥平面C₁B₁BC；
（2）由AB=BC=BB₁=2，且△ABC，△ABB₁，△CBB₁均为直角三角形，可得$AC=A{B_1}=C{B_1}=2\sqrt{2}$，取AB₁的中点O，连CO，取AC₁的中点D，连DO，可证∠DOC是二面角C₁-AB₁-C的平面角．然后求解直角三角形可得二面角C₁-AB₁-C的余弦值．

解答 （1）证明：∵B₁B⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴B₁B⊥AB，
∵AB⊥BC，BC，B₁B是平面C₁B₁BC内的两条相交直线，
∴AB⊥平面C₁B₁BC．
∵AB?平面A₁B₁BA，
∴平面A₁B₁BA⊥平面C₁B₁BC；
（2）解：∵AB=BC=BB₁=2，△ABC，△ABB₁，△CBB₁均为直角三角形，
∴$AC=A{B_1}=C{B_1}=2\sqrt{2}$，
取AB₁的中点O，连CO，则CO⊥AB₁，且$CO=\sqrt{6}$，
取AC₁的中点D，连DO，则DO∥B₁C₁，且$DO=\frac{1}{2}{B_1}{C_1}=1$，
由（1）知平面A₁B₁BA⊥平面C₁B₁BC，
∵B₁B⊥平面ABC，∴CB⊥BB₁，
∴CB⊥平面A₁B₁BA，
∵AB₁?平面A₁B₁BA，∴CB⊥AB₁，
则C₁B₁⊥AB₁，∴DO⊥AB₁，
则∠DOC是二面角C₁-AB₁-C的平面角．
连CD，在直角ACC₁中，$CD=\frac{1}{2}A{C_1}=\sqrt{3}$，
∴在△COD中，$cos∠COD=\frac{{C{O^2}+D{O^2}-C{D^2}}}{2CO•DO}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查二面角的平面角的求法，正确找出二面角的平面角是解答此题的关键，是中档题．