Question

9．在△ABC中，已知BC=5$\sqrt{3}$，外接圆半径为5，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{11}{2}$，则△ABC的周长为（　　）

• A． 11$\sqrt{3}$
• B． 9$\sqrt{3}$
• C． 7$\sqrt{3}$
• D． 5$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，求出bc的值，再由余弦定理列出关系式，化简求出b+c的值，由a+b+c即可求出三角形的周长．

解答 解：在△ABC中，设|$\overrightarrow{BC}$|=a，|$\overrightarrow{AC}$|=b，|$\overrightarrow{AB}$|=c，由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，得sinA=$\frac{a}{2R}$=$\frac{5\sqrt{3}}{10}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$；
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{11}{2}$，得c•bcosA=$\frac{11}{2}$＞0，
∴∠A为锐角，A=$\frac{π}{3}$，即b•c=11，
再由余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（b+c）^{2}-2×11-75}{2×11}$，得b+c=6$\sqrt{3}$，
则△ABC的周长为6$\sqrt{3}+$5$\sqrt{3}$=11$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．