Question

13．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$cos（x+$\frac{π}{6}$），若存在x₁，x₂，x₃，…，x_n满足0≤x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n≤6π，且|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|+…$+|{f（{{x_{n-1}}}）-f（{x_n}）}|=12（{n≥2，n∈{N^*}}）$，则n的最小值为（　　）

• A． 6
• B． 10
• C． 8
• D． 12

Answer 1

分析 将函数f（x）化简，要求n的最小值，则|f（x_n-1）-f（x_n）|=f（x）_max-f（x）_min．|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|+…+f（x_n-1）-f（x_n）=12，可得x的值．即可知道n的最小值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$cos（x+$\frac{π}{6}$）
化简可得：f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=sinx．
∴|f（x_n-1）-f（x_n）|=f（x）_max-f（x）_min=2．
则|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|+…+f（x_n-1）-f（x_n）=12的n最小，
须取x的区分别为：x₁=0，x₂=$\frac{π}{2}$，${x}_{3}=\frac{3π}{2}$，${x}_{4}=\frac{5π}{2}$，${x}_{5}=\frac{7π}{2}$，${x}_{6}=\frac{9π}{2}$，${x}_{7}=\frac{11π}{2}$，x₈=6π．
则n的最小值为8．
故选C．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．