Question

设f(x)=ax²+bx+c，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1，

求证：|f(2)|≤8．

Answer 1

答案：
解析：

∵当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1， ∴|f(0)|≤l，即|c|≤1． 又∵2b=f(1)－f(－1)， ∴|2b|=|f(1)－f(－1)|≤|f(1)|+|f(－1)|≤2，即|b|≤l． ∵2a=f(1)+f(－1)－2c， ∴|2a|=|f(1)+f(－1)－2c| ≤|f(1)|+|f(－1)|+2|c|≤4． 即|a|≤2． 从而  |f(2)|=|4a+2b+c|=|f(1)+3a+b|≤|f(1)|+3|a|+|b|≤1+6+1=8．