Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AA₁=2，则二面角C₁-AB-C的余弦值为

 

．

Answer 1

分析：因为在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，故可通过建立空间直角坐标系，用向量法求解．分别求出面C₁AB和面ABC的法向量，再由夹角公式求两个向量所成角的余弦值即可．

解答：解：如图建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），

AC1

=（0，1，2），

AB

=（

3

2

，

1

2

，0）．
设n=（x，y，z）为平面ABC₁的法向量
则

3 2 x+ 1 2 y=0 y+2z=0.

取n=（-

2 3

3

，2，-1），
取m=（0，0，1），作为平面ABC的法向量．则cos＜m，n＞=-

1

19 3

=-

57

19

．
∴二面角C₁-AB-C的余弦值为

57

19

．
故答案为：

57

19

点评：本题考查空间二面角的计算、空间向量，考查空间想象能力和运算能力．