Question

【题目】已知椭圆：的左、右有顶点分别是、，上顶点是，圆：的圆心到直线的距离是，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）平行于轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为、，直线、与轴的交点记为，．试判断是否为定值，若是，证明你的结论．若不是，举反例说明．

Answer 1

【答案】(1) (2) 是定值为

【解析】试题分析：（Ⅰ）写出的方程，利用点到直线的距离和抛物线的焦点坐标进行求解；（Ⅱ）设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、点在圆上及平面向量的数量积公式进行求解.

试题解析:（Ⅰ）方程为：即为：

由题意得

整理得：

，（舍） ∴

椭圆：

（Ⅱ）设直线：，令得 ∴

∴

∴ ∴

∴方程为：

令得 ∴

设，则且

∴

∴ 即：

所以是定值为