Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足
a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=．
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求a_n表达式；
（3）若b_n=2（1-n）a_n（n≥2），求证：b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题中已知条件化简可得出S_n与S_n-1的关系，再求出S1 的值即可证明{}是等差数列；
（2）根据（1）中求得的S_n与S_n-1的关系先求出数列{}的通项公式，然后分别讨论n=1和n≥2时a_n的表达式；
（3）根据（2）中求得的a_n的表达式即可求出bn的表达式，然后将bn的表达式代入b₂²+b₃²+…+b_n²中，利用缩放法即可证明b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．
解答：解（1）∵-a_n=2S_nS_n-1，
∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2）
S_n≠0，∴-=2，又==2，
∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列．

（2）由（1）=2+（n-1）2=2n，
∴S_n=
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-
n=1时，a₁=S₁=，
∴a_n=；

（3）由（2）知b_n=2（1-n）a_n=
∴b₂²+b₃²+…+b_n²=++…+＜++…+
=（1-）+（-）+…+（-）=1-＜1．
点评：本题主要考查了数列的递推公式以及等差数列的基本性质，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．