题目内容

等差数列{a_n} 的前n项的和为S_n，且S₅=45，S₆=60．
（1）求{a_n} 的通项公式；
（2）若数列{b_n} 满足b_n-b_n=a_n-1（n∉N^*），且b₁=3，设数列 $数学公式$ 的前n项和为T_n．求证：T_n＜ $数学公式$ ．

（1）解：a₆=S₆-S₅=15，由 $\text{[math]}$ =60，
解得a₁=5，又∵d= $\text{[math]}$ =2，
所以a_n=2n+3．…4
（2）证明：∵b₂-b₁=a₁，
b₃-b₂=a₂，
b₄-b₃=a₃，
…
b_n-b_n-1=a_n-1，
叠加得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．…（9分）

∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）a₆=S₆-S₅=15，由 $\text{[math]}$ =60，解得a₁=5，再由d= $\text{[math]}$ =2，能求出{a_n} 的通项公式．
（2）由b₂-b₁=a₁，b₃-b₂=a₂，b₄-b₃=a₃，…，b_n-b_n-1=a_n-1，叠加得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ，由裂项求和法能够证明T_n＜ $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列通项公式和数列前n项和的求法，证明T_n＜ $\text{[math]}$ ．解题时要认真审题，注意等差数列通项公式的应用和裂项求和法的灵活运用．