Question

【题目】已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）对函数进行求导，根据的不同取值，结合函数的定义域，以及二次方程根的情况进行分类讨论求解即可；

（2）令，由方程有两个不相等的实数根，问题转化为函数有两个零点，对求导，然后根据的不同取值，分类讨论最后求出的取值范围，要证明，可以通过构造新函数，求导，利用新函数的单调性进行求解即可.

（1）易知的定义域为，且，

时，在上恒正，所以在上单调递增，

时，对于，

①当，即时，，在上是增函数；

②当，即时，有两个正根，

所以，，单调递增，

，，单调递减

综上，时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数

（2）令，

方程有两个不相等的实根函数有两个零点，

由

定义域为且

①当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不符合题意；

②当时，得，

在上单调递增，在上单调递减

要使有两个零点，则，由解得

此时

易知当时，

，

令，所以，

时，在为增函数，

在为增函数，，

所以，即

所以

函数在与各存在一个零点

综上所述，.

∴证明证明时，成立

设，则

易知在上递减，，在上单调递减

，

所以.