Question

【题目】已知非单调数列{an}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为Sn(n∈N*)，且满足S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；

(2)bn＝＋，求数列{bn}的前n项和Tn.

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析

【解析】

(1)由已知S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列构造方程解出公比q，代入等比数列的通项公式和前n项和公式可求出an与Sn；(2)由(1)求出bn＝(－1)nn2＋，前半部分利用分类法和等差数列求和公式求和，后半部分利用错位相减法和等比数列前n项和公式求和．

(1)∵S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，

∴2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4)

∴a3＝4a5，q2＝，q＝－，

an＝·n－1，

∴Sn＝1－n.

(2)bn＝(－1)nn2Sn＋＝(－1)nn2＋＝(－1)nn2＋.

设(－1)nn2的前n项和为Hn，的前n项和为Qn

①当n为偶数时，

Hn＝－12＋22－32＋42＋…－(n－1)2＋n2＝1＋2＋3＋4＋…＋n－1＋n＝，

Qn＝1×＋2×2＋…＋n×n　①

Qn＝1×2＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1　②

①－②得， Qn＝＋2＋…＋n－n×n＋1＝1－，

∴Qn＝2－

∴Tn＝Hn＋Qn＝＋2－＝－

②当n为奇数时，

Hn＝－n2＝－，

∴Qn＝2－

∴Tn＝Hn＋Qn＝－＋2－＝－－

综合①②，∴Tn＝