Question

【题目】已知抛物线上的点到其焦点距离为3，过抛物线外一动点作抛物线的两条切线，切点分别为，且切点弦恒过点.

（1）求和；

（2）求证：动点在一条定直线上运动.

Answer 1

【答案】（1），.（2）证明见解析

【解析】

（1）根据抛物线的定义求得，由此求得抛物线方程，将的坐标代入抛物线方程，由此求得.

（2）设出的坐标，根据抛物线的切线方程求得直线的方程，将的坐标代入直线的方程，由此求得直线的方程，将点坐标代入直线的方程，由此判断出动点在直线上运动.

（1）由题意得

抛物线方程为，∴，

（2）首先推导抛物线切线方程的一般性：设抛物线上的一点为，由，所以抛物线过点的切线的斜率为，切线方程为，化简得.

设

∴抛物线的切线的方程：

抛物线的切线的方程：

∵均经过，∴

故直线即过，也过

故方程：

∵它恒过，∴，∴它在上运动.