Question

【题目】已知数列、，其中， ，数列满足,，数列满足．

（1）求数列，的通项公式；

（2）是否存在自然数，使得对于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；

（3）若数列满足，求数列的前项和.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 的最小值为16.

(3) .

【解析】试题分析：第一问将式子变形，得到两项的比值，之后用累乘法求得通项公式，一定需要注意对进行验证；第二问转化成最值来处理，第三问需要对为奇数和为偶数两种情况进行讨论求得结果.

（1）由，即，．

又，所以

. ……………………2分

当时，上式成立，故 ……………………3分

因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，

故. ……………………5分

(2) 由（1）知，则

.……………………7分

假设存在自然数，使得对于任意有恒成立，即恒成立，由，解得． ……………………9分

所以存在自然数，使得对于任意有恒成立，此时， 的最小值为16. ……………………………………10分

（3）当为奇数时，

；………………13分

当为偶数时，

. ………………15分

因此

………………16分