Question

如图，A，B是椭圆C：

x2

4

+y²=1的左、右顶点，M是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线BM与直线l：x=4分别交于C，D两点．
（Ⅰ）若|CD|=4，求点M的坐标；
（Ⅱ）记△MAB和△MCD的面积分别为S₁和S₂．是否存在实数λ，使得S₁=λS₂？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）分别求出C，D的坐标，利用|CD|=4，求出直线AM的斜率，进而可求点M的坐标；
（Ⅱ）求出△MAB和△MCD的面积，假设存在实数λ，使得S₁=λS₂，则λ=

S1

S2

，利用基本不等式，即可求出λ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设直线AM的方程为y=k（x+2）（k＞0）．
由

x=4 y=k(x+2)

得C（4，6k）；
y=k（x+2）代入椭圆方程，消去y可得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
设M（x₀，y₀），则（-2）x₀=

16k2-4

1+4k2

，
∴x₀=

2-8k2

1+4k2

，
∴y₀=

4k

1+4k2

，
即M（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），
∵B（2，0），
∴直线BM的方程为y=-

1

4k

（x-2），
x=4时，y=-

1

2k

，∴D（4，-

1

2k

）
∴|CD|=|6k+

1

2k

|=4
∵k＞0，∴k=

1

2

或

1

6

，
从而M（0，1）或M（

8

5

，

3

5

）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），
∴S₁=

1

2

|AB||y_M|=

8k

1+4k2

，S₂=

1

2

|CD||4-x_M|=

(1+12k2)2

2k(1+4k2)

，
假设存在实数λ，使得S₁=λS₂，则
λ=

S1

S2

=

16k2

1+24k2+144k4

=

16

144k2+ 1 k2 +24

≤

1

3

，
当且仅当144k²=

1

k2

，即k=

3

6

时，等号成立，
∵λ＞0，
∴0＜λ≤

1

3

，
∴存在实数λ满足0＜λ≤

1

3

，使得S₁=λS₂．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，有难度．