Question

【题目】已知函数（，为自然对数的底数），且在点处的切线的斜率为，函数.

（1）求的单调区间和极值；

（2）若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为，极小值1，无极大值.（2）最大值为.

【解析】

（1）首先根据在点处的切线的斜率为，得到，再求单调区间和极值即可.

（2）令，通过求导，讨论的范围得到：当时，，再构造，求其单调区间和最值即可得到的最大值.

（1）由已知得，在点处的切线的斜率为，

所以，从而，.

因为，在上递增，且，

所以当时，；时，，

的单调减区间为，单调增区间为，

所以，无极大值.

（2）

令，得，

①当时，

在上单调递增，

当时，，与相矛盾；

②当时，

，此时；

③当时，

，得，

所以在，为减函数，在，为增函数.

当时，，

即，

所以（其中）.

令，则，

∴，，

所以在，为增函数，在，为减函数.

当时，，

即：当时，的最大值为，

所以的最大值为.

综上所述：的最大值为.