Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，E是AB的中点，PC与平面ABCD所成角为30°．
（1）求二面角P-CE-D的大小；
（2）当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2．

Answer 1

分析：设AD的中点为O，BC的中点为F，以O为原点，AD为x轴正半轴，AP为z轴正半轴，OF为y轴正半轴建立空间直角坐标系，
（1）设平面PCE的一个法向量为

n

=(x，y，1)．则二面角P-CE-D的大小即为此法向量与

OP

的夹角的大小．
（2）D（a，0，0），则

CD

=(0，-2

2

a，0)，则点D到平面PCE的距离d=

| CD • n |

| n |

=

2 6

3

a，d=2，则a=

6

2

，AD=

6

．

解答：解：设AD的中点为O，BC的中点为F，以O为原点，AD为x轴正半轴，AP为z轴正半轴，OF为y轴正半轴建立空间直角坐标系，
（1）连接OC，则∠PCO为PC与面AC所成的角，∠PCO=30°，
设AD=2a，则PO=

3

a，OC=3a，
故CD=2

2

a，
则P(0，0，

3

a)，C(a，2

2

a，0)，E(-a，

2

a，0)，

PC

=(a，2

2

a，-

3

a)，

PE

=(-a，

2

a，-

3

a)，
设平面PCE的一个法向量为

n

=(x，y，1)．
则

n • PC =0 n • PE =0

得

n

=(-

3

3

，

6

3

，1)，
又平面DCE的一个法向量

OP

=(0，0，

3

a），cos＜

OP

，

n

＞=

2

2

，
故二面角P-CE-D为

π

4

（8分）
（2）D（a，0，0），则

CD

=(0，-2

2

a，0)，
则点D到平面PCE的距离d=

| CD • n |

| n |

=

2 6

3

a
d=2，则a=

6

2

，AD=

6

（12分）

点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．