Question

14．已知函数y=x²+2ax+1，求在[2，6]区间上的值域．

Answer 1

分析 先配方得到y=（x+a）²+1-a²，可设y=f（x），从而讨论该二次函数的对称轴x=-a和区间[2，6]的关系：分-a≥6，2＜-a＜6，和-a≤2三种情况，在每种情况里根据f（x）在[2，6]上的单调性或端点值和顶点值求出函数f（x）的值域．

解答 解：y=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a²，设y=f（x）；
①-a≥6，即a≤-6时，f（x）在[2，6]上单调递减；
∴f（x）的值域为[f（6），f（2）]=[12a+37，4a+5]；
②2＜-a＜6，即-6＜a＜-2时，f（x）≥1-a²；
f（6）-f（2）=8a+32；
∴1）-6＜a＜-4时，f（6）＜f（2）；
∴f（x）的值域为[1-a²，4a+5]；
2）-4≤a＜-2时，f（6）＞f（2）；
∴f（x）的值域为[1-a²，12a+37]；
③-a≤2，即a≥-2时，f（x）在[2，6]上单调递增；
∴f（x）的值域为[f（2），f（6）]=[4a+5，12a+37]．

点评 考查函数值域的概念，二次函数值域的求法，二次函数的对称轴，及二次函数的单调性，以及根据函数的单调性求函数值域．