Question

3．在数列{a_n}中，a₁=3，2a_n+1=（1+$\frac{1}{n}$）²a_n+2（n-$\frac{1}{n}$）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n+1-$\frac{{a}_{n}}{2}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对2a_n+1=（1+$\frac{1}{n}$）²a_n+2（n-$\frac{1}{n}$）通分可知$\frac{2{a}_{n+1}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$+$\frac{2（n-1）}{n（n+1）}$，变形可知$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）^{2}}$-$\frac{2}{n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$-$\frac{2}{n}$），进而可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$-$\frac{2}{n}$}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$+n+2，利用错位相减法计算可知Q_n=3•$\frac{1}{2}$+5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵2a_n+1=（1+$\frac{1}{n}$）²a_n+2（n-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{2{a}_{n+1}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$+$\frac{2（n-1）}{n（n+1）}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$+$\frac{n-1}{n（n+1）}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）^{2}}$-$\frac{2}{n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$-$\frac{2}{n}$），
又∵$\frac{{a}_{1}}{{1}^{2}}-\frac{2}{1}$=3-2=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$-$\frac{2}{n}$}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$-$\frac{2}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n-1}}$+2n；
（2）由（1）可知b_n=a_n+1-$\frac{{a}_{n}}{2}$
=$\frac{（n+1）^{2}}{{2}^{n}}$+2（n+1）-$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$-n
=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$+n+2，
记Q_n=3•$\frac{1}{2}$+5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
则$\frac{1}{2}$Q_n=3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$Q_n=3•$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴Q_n=3+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
=3+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$，
∴S_n=Q_n+$\frac{n（n+1）}{2}$+2n
=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n+2n
=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$n²+$\frac{5}{2}$n．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．