Question

【题目】国庆期间，一位游客来到某旅游城市，这里有甲、乙、丙三个著名的旅游景点，若这位游客游览这三个景点的概率分别是，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

（Ⅰ）求的分布列和数学期望；

（Ⅱ）记“时，不等式恒成立”为事件，求事件发生的概率.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（I）用表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，根据客人游览的景点数的可能取值为和客人没有游览的景点数的可能取值为，写出变量的可能取值，根据相互独立事件同时发生的概率，求解每个随机变量取值对应的概率，得出分布列，求得数学期望.

（Ⅱ）由不等式恒成立，有恒成立，分和讨论，即可得到答案.

（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件 由已知相互独立， ,客人游览的景点数的可能取值为. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取

值为，所以的可能取值为.

所以的分布列为

	1	3
P	0.76	0.24

1×0.76+3×0.24=1.48.

（Ⅱ）的可能取值为1，3.且时，不等式恒成立，

有恒成立，即

当=1时，不等式恒成立，

当=3时，不等式不会恒成立.

所以.