Question

【题目】如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“阿当数列”.

（1）若数列为“阿当数列”，且，，，求实数的取值范围；

（2）是否存在首项为1的等差数列为“阿当数列”，且其前项和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由.

（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“阿当数列”，，，当数列不是“阿当数列”时，试判断数列是否为“阿当数列”，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由见详解；（3）见详解.

【解析】

（1）根据题意，得到，求解即可得出结果；

（2）先假设存在等差数列为“阿当数列”，设公差为，则，根据等差数列求和公式，结合题中条件，得到，即对任意都成立，判断出，推出矛盾，即可得出结果；

（3）设等比数列的公比为，根据为“阿当数列”，推出在数列中，为最小项；在数列中，为最小项；得到，，再由数列每一项均为正整数，得到，或，；分别讨论，和，两种情况，结合数列的增减性，即可得出结果.

（1）由题意可得：，，

即，解得或；

所以实数的取值范围是；

（2）假设存在等差数列为“阿当数列”，设公差为，则，

由可得：，

又，所以对任意都成立，

即对任意都成立，

因为，且，所以，与矛盾，

因此，不存在等差数列为“阿当数列”；

（3）设等比数列的公比为，则，且每一项均为正整数，

因为为“阿当数列”，所以，

所以，；因为，

即在数列中，为最小项；

同理，在数列中，为最小项；

由为“阿当数列”，只需，即，

又因为数列不是“阿当数列”，所以，即，

由数列每一项均为正整数，可得：，所以，或，；

当，时，，则，

令，则，

所以，

即数列为递增数列，

所以，

因为，所以对任意，都有，

即数列是“阿当数列”；

当，时，，则，

显然数列是递减数列，，

故数列不是“阿当数列”；

综上，当时，数列是“阿当数列”；当时，数列不是“阿当数列”.