Question

（本题满分12分）如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。

（1）求证：BM∥平面PAD；

（2）在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；

（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

Answer 1

（1）详见解析；（2）是的中点；（3）．

【解析】

试题分析：（1）取的中点，连接，则可证得四边形为平行四边形，可得∥，根据线面平行的判定定理可证得∥．（2）以为原点，以、、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，在平面内设，从而可求得各向量坐标．根据两向量垂直数量积为0可求得的值．（3）由（2）可知是面的法向量,则直线与夹角的余弦值的绝对值等于直线与平面所成的角的正弦值．

试题解析：（1）是的中点，取的中点，则

，又

四边形为平行四边形

∥，

∥ （4分）

（2）以为原点，以、、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，

在平面内设，，， 由

由

是的中点，此时 （8分）

（3）设直线与平面所成的角为

，，设为

故直线与平面所成角的正弦为 （12分）

考点：1线面平行;2用空间向量解决立体几何问题．