Question

16．在椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1内，通过点M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为9x+16y-25=0．

Answer 1

分析 由点M（1，1）为中点的弦两端点为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），中点坐标公式可知：x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．由$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{9}=1$①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{9}=1$②，①-②得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0，由对称性知x₁≠x₂，则k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{9}{16}$，由直线的点斜式方程，y-1=-$\frac{9}{16}$（x-1），即可求得直线方程．

解答 解：设以点M（1，1）为中点的弦两端点为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
又$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{9}=1$①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{9}=1$②
①-②得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0
又据对称性知x₁≠x₂，
∴以点M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{9}{16}$，
∴中点弦所在直线方程为y-1=-$\frac{9}{16}$（x-1），即9x+16y-25=0．
故答案为：9x+16y-25=0．

点评 本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用，考查计算能力，属于中档题．