Question

某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资成正比，其关系如图1，乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资的单位：万元）．

（Ⅰ）分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（Ⅱ）该企业筹集了100万元资金投入生产甲、乙两种产品，问：怎样分配这100万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？

Answer 1

分析：（1）根据甲产品的利润与投资成正比，过（1.8，0.45），可得甲的函数关系式；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，过点（4，6），可得乙的函数关系式；
（2）设应给乙投资x万元，则给甲投资（100-x）万元，从而可得函数关系式，求导函数，确定函数的单调性，即可求得最大利润．

解答：解：（1）设投资x万元，利润y万元，则甲产品的利润与投资成正比，过（1.8，0.45），故甲的函数关系式为y=

1

4

x；
 乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，设方程为y=k

x

，因为过点（4，6），
所以k=3，故乙的函数关系式为 y=3

x

；
（2）设应给乙投资x万元，则给甲投资（100-x）万元
故y=

1

4

(100-x)+3

x

(0≤x≤100)
求导函数，

y′=- 1 4 + 3 2 x =0

，∴x=36
∴函数在（0，36）上，y′＞0，函数单调增，（36，100）上，y′＜0，函数单调减，
∴x=36时，函数取得极大值，且为最大值，y_max=34
答：应投资36万元，最大利润34万元．

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，单峰函数极值就是最值，属于中档题．