Question

11．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）是偶函数．
（1）求φ的值；
（2）求函数f（x）图象的对称中心和单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的性质得sin（-2x+φ）=sin（2x+φ），使用诱导公式得出φ；
（2）利用余弦函数的图象与性质列出不等式或等式求出对称中心和单调区间．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，
∴f（-x）=sin（-2x+φ）=sin（2x+π-φ）=f（x）=sin（2x+φ），
∴π-φ-φ=2kπ，即φ=$\frac{π（1-2k）}{2}$，k∈Z．
∵-π＜φ＜0，∴当k=1时，φ=-$\frac{π}{2}$．
（2）由（1）得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-cos2x．
令2x=$\frac{π}{2}+kπ$得x=$\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}$，∴f（x）的对称中心是（$\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z．
令-π+2kπ≤2x≤2kπ．解得-$\frac{π}{2}+kπ$≤x≤kπ．
∴f（x）的单调减区间是[-$\frac{π}{2}+kπ$，kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，余弦函数的图象与性质，属于中档题．