Question

7．已知椭圆Γ的中心在原点，焦距为2，且长轴长是短轴长的$\sqrt{2}$倍．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）设P（2，0），过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A、B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤λ（λ∈R）恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得a=$\sqrt{2}b$，c=1，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂，当直线l垂直于x轴时，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{17}{2}$，当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x+1），与椭圆联立，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由此利用韦达定理、向量的数量积能求出λ的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆Γ的中心在原点，焦距为2，且长轴长是短轴长的$\sqrt{2}$倍，
∴a=$\sqrt{2}b$，c=1，a²=b²+c²，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂，
当直线l垂直于x轴时，x₁=x₂=-1，y₁=-y₂，且${{y}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}$，
此时，$\overrightarrow{PA}$=（-3，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（-3，y₂）=（-3，-y₁），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（-3）²-${{y}_{1}}^{2}$=$\frac{17}{2}$，
当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去y，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=${x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4+{k}^{2}（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）$
=（1+k²）${x}_{1}{x}_{2}+（{k}^{2}-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）+4+{k}^{2}$
=（1+k²）•$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2k}$-（k²-2）•$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+4+k²
=$\frac{17{k}^{2}+2}{2{k}^{2}+1}$
=$\frac{17}{2}$-$\frac{13}{2（2{k}^{2}+1）}$＜$\frac{17}{2}$，
要使不等式$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$≤λ（λ∈R）恒成立，
只需λ≥（$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$）_max=$\frac{17}{2}$，
∴λ的最小值为$\frac{17}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查实数值的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．