Question

若集合A={x|x=cos²θ-cosθ+1，θ∈R}，则A=（　　）

• A．[

  3

  4

  ，+∞)
• B．[1，3]
• C．[

  3

  4

  ，3]
• D．[1，+∞]

Answer 1

分析：根据x=cos²θ-cosθ+1，θ∈R，令t=cosθ，则t∈[-1，1]，将函数转化为关于t的二次函数在[-1，1]上的值域问题，利用二次函数的性质求解即可得到x的取值范围，从而得到集合A．

解答：解：∵集合A={x|x=cos²θ-cosθ+1，θ∈R}，
∴x=cos²θ-cosθ+1，θ∈R，
令t=cosθ，
则t∈[-1，1]，
∴x=t²-t+1=（t-

1

2

）²+

3

4

，
对称轴为t=

1

2

∈[-1，1]，
∴当t=

1

2

时，x取得最小值

3

4

，
当t=-1时，x取得最大值为3，
∴x的取值范围为[

3

4

，3]，
∴A=[

3

4

，3]．
故选C．

点评：本题考查了函数的值域，以三角函数作为背景，运用换元法将函数转化为二次函数求值域，换元的时候要注意新变量的取值范围．本题同时考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．属于中档题．