Question

已知函数f（x）是定义在R的奇函数，当x≤0时，f（x）=x²，若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x）≤9f（x+t）恒成立，则实数t的最大值为（　　）

• A、-

  2

  5

• B、-

  3

  2

• C、-

  2

  3

• D、2

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性的性质求出函数f（x）的表达式，并判断函数的单调性，利用函数的单调性将不等式恒成立进行转化，即可求出t的最大值．

解答： 解：若x＞0，则-x＜0，
∵当x≤0时，f（x）=x²，
∴f（-x）=x²，
∵f（x）是定义在R的奇函数，
∴f（-x）=x²=-f（x），
即f（x）=-x²，x＞0，
即f（x）=

x2， x≤0 -x2， x＞0

，
则函数f（x）的图象如图：
则函数f（x）在R上单调递减，
∵9f（x+t）=3²f（x+t）=f（3x+3t），
∴对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x）≤9f（x+t）恒成立，
等价为对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x）≤f（3x+3t）恒成立，
即x≥3x+3t，即x≤-

3

2

t恒成立，
∵x∈[t，t+1]，
∴t+1≤-

3

2

t恒成立，
即

5

2

t≤-1，解≥t≤-

2

5

，
则实数t的最大值为-

2

5

，
故选：A

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性求出函数的表达式以及判断函数的单调性是解决本题的关键．