Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=CD，E为PB的中点．
（Ⅰ）求异面直线PA与DE所成的角；
（Ⅱ）在底边AD上是否存在一点F，使EF⊥平面PBC？证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB的中点G，连结EG、DG，由EG∥PA，∠DEG为所求的角，由此能求出异面直线PA与DE所成角．（Ⅱ）存在点F为AD的中点，使EF⊥平面PBC．取PC的中点H，连结DH，EH，由已知条件推导出四边形EFDH是平行四边形，从而EF∥DH，由此得到EF⊥平面PBC．

解答： 解：（Ⅰ）取AB的中点G，连结EG、DG，∵E是PB的中点，
∴EG∥PA，∴∠DEG为所求的角，
由已知得BD=2

2

，PD=2，则PB=2

3

，
∴DE=

1

2

PB=

3

，
又EG=

1

2

PA=

2

，DG=

AD2+AG2

=

5

，
∴DG²=DE²+EG²，∴∠DEG=90°，
∴异面直线PA与DE所成角为90°．
（Ⅱ）存在点F为AD的中点，使EF⊥平面PBC．
证明如下：
取PC的中点H，连结DH，EH，
∵PD=CD，∴DH⊥PC，①
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥BC，
∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥DH．②
结合①②知DH⊥平面PBC，
∵E，F分别是PB、AD的中点，
∴FD

∥

.

1

2

BC，EH

∥

.

1

2

BC，∴FD

∥

.

EH，
∴四边形EFDH是平行四边形，∴EF∥DH，
∴EF⊥平面PBC．

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查直线与平面垂直的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．