Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，

PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)求平面PBD与平面BDA的夹角．

Answer 1

解：(1)证明：由题可知，AP、AD、AB两两垂直，则分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，

P(0,0,3)，

又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.

(2)显然平面ABD的一个法向量为m＝(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，

令x＝，则n＝(，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝.

∴平面PBD与平面BDA的夹角为60°.