Question

（2007•崇明县一模）已知函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=ax+

1

x2

．
（1）求函数y=f（x）在（0，1]上的函数解析式；
（2）当a＞-2时，判断函数y=f（x）在（0，1]上的单调性，并给出说明．

Answer 1

分析：（1）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），由x∈[-1，0）时，f(x)=ax+

1

x2

．及函数为偶函数可求；
（2）任取x₁，x₂∈（0，1]，x₁＜x₂，通过检验f（x₁）与f（x₂）的大小可判断函数的单调性．

解答：解：（1）任取x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），f（-x）=-f（x）（3分）
则f(x)=-f(-x)=ax-

1

x2

．                                   （6分）
（2）函数f（x）在（0，1]上为单调递增函数．
证明：任取x₁，x₂∈（0，1]，x₁＜x₂
f(x2)-f(x1)=ax2-

1

x 2 2

-ax1+

1

x 2 2

（2分）
=(x2-x1)(a+

1

x1 x 2 2

+

1

x 2 1 x2

)（4分）
由于由于x₁，x₂∈（0，1]，x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，（5分）

1

x1 x 2 2

＞1，

1

x2 x 2 1

＞1，当a＞-2时，a+

1

x1 x 2 2

+

1

x 2 1 x2

＞0（7分）
所以所以f（x₂）＞f（x₁），即函数f（x）在（0，1]上为单调递增函数．     （8分）
（只有结论，没有过程给2分）

点评：本题主要考查了利用偶函数的定义f（-x）=f（x）求解函数的解析式，函数单调性的证明（判断）其一般步骤：设量，作差，变形，定号，结论．