Question

已知圆的方程是：，其中，且。

(1)求证：取不为1的实数时，上述圆恒过定点；(2)求与圆相切的直线方程；(3)求圆心的轨迹方程。

Answer 1

解：将方程整理得：

令  

  解之得：     ∴定点为(1，1)；-------------------------------------4分

(2)易得已知圆的圆心坐标为，半径为。

设所求切线方程为，即，

则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即=恒成立。

整理得等式：

恒成立。

比较系数可得：

 解之得，所以，所求的切线方程是。------------9分

(3)圆心坐标为，又设圆心坐标为，则有：

  消去参数得为所求的圆心的轨迹方程。