Question

AB和平面M所成角是a ，AC在平面M内，AC和AB在平面M内的射影AB₁所成角是b ，设∠BAC=q ．求证：a 、b 、q 满足关系式cosq =cosa ·cosb ．

Answer 1

答案：
解析：

证明：根据题意正确画出图形，利用三垂线定理及其逆定理，构造直角三角形，利用各角余弦值的关系证明等式成立． 　　作图(如图所示)，在点B和AC确定的平面内作BD⊥AC，D为垂足，作BB1⊥平面M，垂足为B1，连结B1D，AB1 　　∵　BB1⊥平面M，AC平面M 　　∴　AC⊥B1D 　　在RT△ADB中，cosq= 　　在RT△ABB1中，cosa= 　　在RT△ADB1中，cosb= 　　∴　cosa·cosb=cosq 　　即cosq=cosa·cosb． 　　说明：本题证明中通过 三垂线定理将空间问题转化成平面问题，这是立体几何问题解答中的一个重要思想方法．由cosq=cosa·cosb，显然有cosq＜cosa，由于a和q都是锐角，故a＜q，这是一个很重要的结论．