Question

AB和平面M所成的角是α,AC在平面M内,AC和AB在平面M内的射影AB₁所成的角是β,设∠BAC=θ,求证:α、β、θ满足关系式cosθ=cosα·cosβ.

Answer 1

证明:如图,在B和AC确定的平面内作BD⊥AC,D为垂足,连结B₁D.

∵BB₁⊥平面M,AC平面M,

∴BB₁⊥AC.

∴AC⊥平面BB₁D,AC⊥B₁D.

在Rt△ADB中,cosθ=AD∶AB,

在Rt△ABB₁中,cosα=AB₁∶AB,

在Rt△ADB₁中,cosβ=AD∶AB₁,

∴cosα·cosβ==cosθ,

即cosθ=cosα·cosβ.

小结:由cosθ=cosα·cosβ,显然有cosθ＜cosα,由于α和θ都是锐角,故α＜θ,即斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的角.