Question

三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=6，若球的表面积为48π，则该三棱锥的体积为

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出底面的边长，即可求出该三棱锥的体积．

解答： 解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、P扩展为三棱柱，
上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
∵球的表面积为48π，
∴OA=2

3

，
∵PA=6，
∴OE=3，
∴AE=

3

，
∵△ABC是正三角形，∴AB=3，
∴该三棱锥的体积为

1

3

•

3

4

•32•6=

9 3

2

．
故答案为：

9 3

2

．

点评：本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．