Question

若三角形的面积为S，周长为a+b+c，则内切圆的半径r=

 

，当a、b为直角三角形的直角边，c为斜边时，内切圆半径为r=

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：推理和证明

分析：（1）把该三角形看成是内切圆的圆心到三个顶点所组成的三个小三角形的面积之和，则每个小三角形的高为r，根据三角形的面积计算公式，可得S=

1

2

（a+b+c）r，据此求出r即可；
（2）根据S=

1

2

ab，a²+b²=c²，r=

2S

a+b+c

，推理可得直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边之差的一半．

解答： 解：（1）如图，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD=OE=OF=r，
∴S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=

1

2

(a+b+c)r=S，
∴r=

2S

a+b+c

；
（2）当a、b为直角三角形的直角边，c为斜边时，
可得S=

1

2

ab，a²+b²=c²，
所以r=

2S

a+b+c

=

ab

a+b+c

=

(a+b)2-c2 2

a+b+c

=

(a+b+c)(a+b-c)

2(a+b+c)

=

a+b-c

2

．
故答案为：

2S

a+b+c

，

a+b-c

2

．

点评：本题主要考查了类比推理的方法，内切圆的性质，以及三角形的面积计算公式的运用，属于基础题，要熟记直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边之差的一半这个结论．