Question

18．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB=BC=1，AD=2，AA₁=$\sqrt{2}$．
（1）求证：直线C₁D⊥平面ACD₁；
（2）试求三棱锥A₁-ACD₁的体积．

Answer 1

分析 （1）通过证明C₁D⊥CD₁，C₁D⊥AC，说明AC与CD₁是平面ACD₁内的两条相交直线，利用直线与平面垂直的判定定理证明直线C₁D⊥平面ACD₁；
（2）求三棱锥A₁-ACD₁的体积．转化为三棱锥C-AA₁D₁的体积，求出底面面积与高，即可求解棱锥的体积．

解答 解：（1）证明：在梯形ABCD内过C点作CE⊥AD交AD于点E，
则由底面四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=BC=1，
以及AD=2，AA₁=$\sqrt{2}$．可得：CE=1，且AC=CD=$\sqrt{2}$，AA${\;}_{1}=C{C}_{1}=\sqrt{2}$，AC⊥CD．
又由题意知CC₁⊥面ABCD，从而AC⊥CC₁，而CC₁∩CD=C，
故AC⊥C₁D．
因CD=CC₁，及已知可得CDD₁C₁是正方形，从而C₁D⊥CD₁．
因C₁D⊥CD₁，C₁D⊥AC，且AC∩CD₁=C，
所以C₁D⊥面ACD₁．
（2）因三棱锥A₁-ACD₁与三棱锥C-AA₁D₁是相同的，故只需求三棱锥C-AA₁D₁的体积即可，而CE⊥AD，
且由AA₁⊥面ABCD可得CE⊥AA₁，又因为AD∩AA₁=A，
所以有CE⊥平面ADD₁A₁，即CE为三棱锥C-AA₁D₁的高．
故V${\;}_{C-A{A}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×A{A}_{1}×{A}_{1}{D}_{1}×CE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×1=\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查空间几何体直线与平面垂直的判断与证明，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力．属于中档题．