Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线与圆（x-6）²+y²=18都相切，则它的离心率是（　　）

• A．

  2

• B．

  2

  2

• C．

  6

  2

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：依题意，利用点到直线间的距离公式可求圆（x-6）²+y²=18的圆心（6，0）到双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线的距离为3

2

，从而可得a=b，于是可求该双曲线的离心率．

解答：解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线方程为：y=±

b

a

x，即bx±ay=0．
设圆（x-6）²+y²=18的圆心P（6，0）到双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线的距离为d，
∵直线bx±ay=0均与圆（x-6）²+y²=18相切，
∴d=

|b×6±a×0|

a2+b2

=3

2

，
∴2b²=a²+b²，
∴a²=b²，又c²=a²+b²，
∴e²=

c2

a2

=

2a2

a2

=2，
∴该双曲线的离心率是

2

．
故选A．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的简单性质与点到直线间的距离公式，求得a=b是关键，属于中档题．