Question

18．已知函数f（x）=|x-a|，若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若不等式f（x+3）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≤3得|x-a|≤3．得a-3≤x≤a+3．又不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}．所以$\left\{\begin{array}{l}{a-3=-1}\\{a+3=5}\end{array}\right.$，解得a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|x-2|，设函数g（x）=f（3x）+f（x+3），求出函数g（x）的最小值，m≤g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）由f（x）≤3得|x-a|≤3．解得a-3≤x≤a+3．
又不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}．所以$\left\{\begin{array}{l}{a-3=-1}\\{a+3=5}\end{array}\right.$，解得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|x-2|，设函数g（x）=f（3x）+f（x+3），则$g（x）=\left|{3x-\left.2\right|}\right.+\left|{x+\left.1\right|}\right.=\left\{{\begin{array}{l}{-4x+1，x≤-1}\\{-2x+3，-1＜x≤\frac{2}{3}}\\{4x-1，x＞\frac{2}{3}}\end{array}}\right.$
所以函数g（x）的最小值为$g（{\frac{2}{3}}）=\frac{5}{3}$．
由不等式f（3x）+f（x+3）≥m对一切实数x恒成立，得$m≤\frac{5}{3}$．
于是实数m的取值范围为$（-∞，\frac{5}{3}]$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，及恒成立问题，属于基础题．