Question

已知函数y=f（x），x∈N，f（x）∈N，满足：对任意x₁，x₂∈N，x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）
（1）试证明：f（x）为N上的单调增函数；
（2）?n∈N，且f（0）=1，求证：f（n）≥n+1；
（3）对任意m，n∈N，有f（n+f（m））=f（n）+1+m，证明：

n

i=1

1

f(3i-1)

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由已知中对任意x₁，x₂∈N，x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），我们易得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，根据函数单调性的定义，即可得到答案．
（2）由（1）中函数的单调性，我们可得?n∈N都有f（n+1）≥f（n）+1，f（n+1）-f（n）≥1…f（2）-f（1）≥1，f（1）-f（0）≥1，利用累加法即可得到答案．
（3）令m=0，可得出f（0）=1，则f（n+1）=f（n）+1，则f（n）=n+1，进而根据等比数列的前n项和公式，求出不等式左边的值，即可得到答案．

解答：证明：（1）由①知，对任意a，b∈N^*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），所以函数f（x）为N^*上的单调增函数．-----（3分）
（2）由（1）可知?n∈N都有f（n+1）＞f（n），则有f（n+1）≥f（n）+1-----（5分）∴f（n+1）-f（n）≥1，∴f（n）-f（n-1）≥1…∴f（2）-f（1）≥1∴f（1）-f（0）≥1
由此可得f（n）-f（0）≥n∴f（n）≥n+1命题得证---------------------------------------------------------（8分）
（3）令m=0，可得出f（0）=1-------------------------------------------------------------（10分）
则f（n+1）=f（n）+1，则f（n）=n+1---------------------------------------------------（12分）

n

i=1

1

f(3i-1)

=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

--------（14分）

点评：本题考查的知识点是不等式的证明，函数单调性的判断与证明，等比数列的求和，其中（1）的关键是真正理解函数单调性的定义，（2）、（3）是要紧抓数列的函数特征，结合x∈N，利用数列的累加法，前n项和公式，进行解答．