题目内容

我们把由半椭圆+=1(x≥0)与半椭圆+=1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2,a＞b＞c＞0）.如图，设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为

A.,1               B.,1               C.5，3               D.5，4

A  ∵△F0F1F2是边长为1的正三角形,

∴OF1=,OF0=.又∵OF1=,OF0=,

∴b2-c2=,a2-b2=.又∵a2=b2+c2,∴即

练习册系列答案
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精英家教网我们把由半椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（x≥0）与半椭圆
y2
b2
+
x2
c2
=1（x≤0）合成的曲线称作“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段A1A2的中点．
（1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；
（2）设P是“果圆”的半椭圆
y2
b2
+
x2
c2
=1（x≤0）上任意一点．求证：当|PM|取得最小值时，P在点B1，B2或A1处；
（3）若P是“果圆”上任意一点，求|PM|取得最小值时点P的横坐标．
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x2
a2
+
y2
b2
=1(x≥0)与半椭圆
y2
b2
+
x2
c2
=1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角，则a，b的值分别为（　　）
A、
7
2
，1
B、
3
，1
C、5，3
D、5，4
请阅读以下材料，然后解决问题：
①设椭圆的长半轴长为m短半轴长为b，则椭圆的面积为πab
②我们把由半椭圆C1：
y2
b2
+
x2
c2
=1 （x≤0）与半椭圆C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1 （x≥0）合成的曲线称作“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0
如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则上述“果圆”的面积为：
3
+
7
4
π
3
+
7
4
π
．

图6

我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=b2+c2,a＞0,b＞c＞0.

如图6,点F0、F1、F2是相应椭圆的焦点,A1、A2和B1、B2分别是“果圆”与x、y轴的交点.〔(文)M是线段A1A2的中点〕

(1)(理)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程.

(2)(理)当|A1A2|＞|B1B2|时,求的取值范围.

(文)设P是“果圆”的半椭圆=1(x≤0)上任意一点,求证:当|PM|取得最小值时,P在点B1、B2或A1处.

(3)(理)连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究:是否存在实数k,使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的k值;若不存在,请说明理由.

(文)若P是“果圆”上任意一点,求|PM|取得最小值时点P的横坐标.

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