Question

【题目】已知椭圆系方程： (， )， 是椭圆的焦点， 是椭圆上一点，且.

（1）求的离心率并求出的方程；

（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于， 两点，点关于原点的对称点为，求证： 的面积为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】试题分析：（1）由椭圆的方程为： ，由,∴， 可得的值，得到椭圆方程；

（2）由距离公式得到点到直线的距离，由弦长公式得到的面积为，即可得到面积为定值，得到证明．

试题解析：

（1）椭圆的方程为： ： 即：

∵．∴，又

即： 又

,∴椭圆的方程为：

∴，∴ ∴椭圆的方程为：；

（2）解法（一）：设，则

当直线l斜率存在时，设l为： ,

则，由联立得：

由得

到直线的距离

同理，由联立得：

，

当直线l斜率不存在时，易知， 的面积为定值

解法（二）：设，由（1）得为： ，

∴过且与椭圆相切的直线l： ．且

点关于原点对称点，点到直线l的距离

设，

由得

， ，∴

∴的面积为 （定值）

当时，易知，

综上： 的面积为定值．