Question

【题目】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)经过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于、两点，、分别为椭圆的左、右顶点，记与的面积分别为和，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析: （1）由离心率的值以及点P坐标求出椭圆方程;(2) 当直线无斜率时,直线方程为,不合题意; 当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,设,联立直线和椭圆方程,消去y得出关于x的一元二次方程,将韦达定理代入,再根据基本不等式求出最值.

试题解析:（1）因为，过点, 所以 . 所以椭圆方程为

（2）当直线无斜率时,直线方程为,

此时, 面积相等，

当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,

设

和椭圆方程联立得到,消掉得

显然，方程有根，且

此时=

因为,上式，（时等号成立）

所以的最大值为