Question

3．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，△ABC的面积等于$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，D为边长BC上一点．
（1）求BC的长；
（2）当AD=$\frac{15}{8}$时，求cos∠CAD的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦定理、三角形的面积公式先求得AB的值，可得BC的值．
（2）利用正弦定理求得sin∠ADC 的值，可得cos∠ADC 的值，再利用两角和的余弦公式，求得cos∠CAD=-cos（C+∠ADC）的值．

解答 解：（1）在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，△ABC的面积等于$\frac{1}{2}$•AC•AB•sin∠BAC=$\frac{1}{2}$•3•AB•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
∴AB=5，再由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=25+9-2×5×3×（-$\frac{1}{2}$）=49，
∴BC=7．
（2）由题意可得cosC=$\frac{{CA}^{2}{+CB}^{2}{-AB}^{2}}{2CA•CB}$=$\frac{11}{14}$，sinC=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$．
D为边长BC上一点，当AD=$\frac{15}{8}$时，△ACD中，利用正弦定理可得$\frac{AD}{sinC}$=$\frac{AC}{sin∠ADC}$，即 $\frac{\frac{15}{8}}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$=$\frac{3}{sin∠ADC}$，
求得sin∠ADC=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，∴cos∠ADC=±$\sqrt{{1-sin}^{2}∠ADC}$=±$\frac{1}{7}$．
当 cos∠ADC=$\frac{1}{7}$，cos∠CAD=-cos（C+∠ADC）=-cosC•cos∠ADC+sinC•sin∠ADC
=-$\frac{11}{14}$•$\frac{1}{7}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$•$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$．
当 cos∠ADC=-$\frac{1}{7}$，cos∠CAD=-cos（C+∠ADC）=-cosC•cos∠ADC+sinC•sin∠ADC
=-$\frac{11}{14}$•（-$\frac{1}{7}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$•$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{71}{98}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用、三角形的面积公式，两角和差的三角函数，属于中档题．