Question

6．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-k}\\{y=3-2k}{\;}\end{array}\right.$（k为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点M的坐标为（2，3）．求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （I）将极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出圆C的直角坐标方程；
（II）求出直线l的标准参数方程，代入圆C的方程，利用根与系数的关系得出|MA|•|MB|的值．

解答 解：（Ⅰ）∵ρ=2sinθ，∴ρ²=2ρsinθ，∴x²+y²=2y．
∴圆C的直角坐标方程为x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1．
（Ⅱ）直线l的标准参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=3+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t为参数）．
代入圆C的直角坐标方程，得${（2+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t）^2}+{（2+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t）^2}=1$．
即${t^2}+\frac{{12\sqrt{5}}}{5}t+7=0$，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁•t₂=7．
∴|MA|•|MB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=7．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义，属于中档题．